Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische by Michael Joswig, Thorsten Theobald

By Michael Joswig, Thorsten Theobald

In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben. Im ersten Teil werden „klassische“ Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehören beispielsweise Algorithmen zur Berechnung konvexer Hüllen und die Konstruktion von Voronoi-Diagrammen. Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.

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Der Schnitt eines Polytops mit einem beliebigen affinen Unterraum ist ein Polytop. 13. Für ein Polytop P gilt: a. Der Durchschnitt einer Menge von Seiten von P ist eine Seite von P. b. Jeder Grat von P ist der Durchschnitt von genau zwei Facetten von P. c. Ist G Seite von P und F Seite von G, so ist F auch Seite von P. 6 endlich, das heißt (F ( P), ⊆) ist eine endliche Halbordnung. Als rein kombinatorisches Objekt besetzt diese Halbordnung eine wichtige Nahtstelle zwischen der eher analytisch geprägten allgemeinen Konvexitätstheorie und der diskreten Geometrie.

7. 24 Die zu X ⊆ R n polare Menge X ◦ ist definiert als X ◦ = {y ∈ R n : x, y ≤ 1 für alle x ∈ X } . 25. Zeigen Sie für X, Y ⊆ R n : Aus X ⊆ Y folgt Y ◦ ⊆ X ◦ . 26 Sei X ⊆ R n beliebig. Dann ist X ◦ abgeschlossen und konvex, und es gilt 0 ∈ X ◦ . Beweis. Offenbar gilt 0 ∈ X ◦ . Sei x ∈ R n \ {0}. Dann ist { x }◦ = {y ∈ R n : x, y ≤ 1} = [1 : − x1 : · · · : − xn ]+ ein abgeschlossener affiner Halbraum und {0}◦ = R n . Der Durchschnitt X ◦ = ◦ x ∈ X { x } abgeschlossener und konvexer Mengen ist wiederum abgeschlossen und konvex.

Kegel der äußeren Normalen, wobei der Ursprung der Dualraumes (R2 ) ∗ in den Punkt v des Ausgangsraumes R2 gelegt wurde. 8 Sei v ein Randpunkt des Polyeders P = { x ∈ R n : Ax ≤ b}. Dann gilt N (v) = u ∈ (R n )∗ : ux ≤ 0 für alle x ∈ P( A (v), 0) . Beweis. Wir bezeichnen die Zeilen von A (v) mit a1 , . . , ak . „⊆“: Sei u ∈ N (v). Dann gibt es λ1 , . . , λk ≥ 0 mit u = ∑ki=1 λi ai . Für jeden Punkt x ∈ P( A (v), 0) = { x ∈ R n : A (v) x ≤ 0} folgt somit ux = k ∑ λi ai x i =1 ≤ 0. „⊇“: Sei u ∈ N (v).

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